4 Sine Pi over 10 by Cosine Pi over 5/Proof 1

Theorem

$4 \sin \dfrac \pi {10} \cos \dfrac \pi 5 = 1$

$\ds \paren {z + 1} \paren {z^2 - 2 z \cos \dfrac \pi 5 + 1} \paren {z^2 - 2 z \cos \dfrac {3 \pi} 5 + 1}$

$=$

$\ds z^5 + 1$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \paren {1 + i} \paren {i^2 - 2 i \cos \dfrac \pi 5 + 1} \paren {i^2 - 2 i \cos \dfrac {3 \pi} 5 + 1}$

$=$

$\ds i^5 + 1$

putting $z \gets i$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \paren {1 + i} \paren {-1 - 2 i \cos \dfrac \pi 5 + 1} \paren {-1 - 2 i \cos \dfrac {3 \pi} 5 + 1}$

$=$

$\ds i + 1$

Definition of Imaginary Unit

$\ds -4 \paren {1 + i} \cos \dfrac \pi 5 \cos \dfrac {3 \pi} 5$

$=$

$\ds i + 1$

simplifying

$\ds -4 \cos \dfrac \pi 5 \cos \dfrac {3 \pi} 5$

$=$

$\ds 1$

$\ds -4 \cos \dfrac \pi 5 \cos \paren {\dfrac \pi {10} + \dfrac \pi 2}$

$=$

$\ds 1$

$\ds -4 \cos \dfrac \pi 5 \paren {-\sin \dfrac \pi {10} }$

$=$

$\ds 1$

$\ds 4 \cos \dfrac \pi 5 \sin \dfrac \pi {10}$

$=$

$\ds 1$

$\blacksquare$

1960: Walter Ledermann: Complex Numbers ... (previous) ... (next): $\S 3$. Roots of Unity: Exercise $9$