5 Numbers such that Sum of any 3 is Square

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Theorem

This set of $5$ integers has the property that the sum of any $3$ of them is square:

\(\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931\) \(\) \(\ds \)
\(\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947\) \(\) \(\ds \)
\(\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222\) \(\) \(\ds \)
\(\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747\) \(\) \(\ds \)
\(\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347\) \(\) \(\ds \)


Proof

Taking the $\dbinom 5 3 = 10$ subsets of $3$ integers at a time:


\(\text {(1)}: \quad\) \(\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222\) \(=\) \(\ds 187 \, 949 \, 817 \, 467 \, 526 \, 392 \, 100\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 13 \, 709 \, 479 \, 110^2\)


\(\text {(2)}: \quad\) \(\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747\) \(=\) \(\ds 256 \, 195 \, 895 \, 861 \, 438 \, 330 \, 625\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 16 \, 006 \, 120 \, 575^2\)


\(\text {(3)}: \quad\) \(\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347\) \(=\) \(\ds 589 \, 467 \, 277 \, 868 \, 756 \, 256 \, 225\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 24 \, 278 \, 947 \, 215^2\)


\(\text {(4)}: \quad\) \(\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747\) \(=\) \(\ds 330 \, 583 \, 710 \, 532 \, 830 \, 876 \, 900\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 18 \, 181 \, 961 \, 130^2\)


\(\text {(5)}: \quad\) \(\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347\) \(=\) \(\ds 663 \, 855 \, 092 \, 540 \, 148 \, 802 \, 500\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 25 \, 765 \, 385 \, 550^2\)


\(\text {(6)}: \quad\) \(\ds 26 \, 072 \, 323 \, 311 \, 568 \, 661 \, 931\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347\) \(=\) \(\ds 732 \, 101 \, 170 \, 934 \, 060 \, 741 \, 025\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 27 \, 057 \, 368 \, 145^2\)


\(\text {(7)}: \quad\) \(\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747\) \(=\) \(\ds 348 \, 256 \, 226 \, 963 \, 544 \, 806 \, 916\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 18 \, 661 \, 624 \, 446^2\)


\(\text {(8)}: \quad\) \(\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347\) \(=\) \(\ds 681 \, 527 \, 608 \, 970 \, 862 \, 732 \, 516\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 26 \, 106 \, 083 \, 754^2\)


\(\text {(9)}: \quad\) \(\ds 43 \, 744 \, 839 \, 742 \, 282 \, 591 \, 947\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347\) \(=\) \(\ds 749 \, 773 \, 687 \, 364 \, 774 \, 671 \, 041\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 27 \, 381 \, 995 \, 679^2\)


\(\text {(10)}: \quad\) \(\ds 118 \, 132 \, 654 \, 413 \, 675 \, 138 \, 222\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 186 \, 378 \, 732 \, 807 \, 587 \, 076 \, 747\) \(\) \(\ds \)
\(\, \ds + \, \) \(\ds 519 \, 650 \, 114 \, 814 \, 905 \, 002 \, 347\) \(=\) \(\ds 824 \, 161 \, 502 \, 036 \, 167 \, 217 \, 316\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 28 \, 708 \, 213 \, 146^2\)

$\blacksquare$


Sources