Closed Form for Pentagonal Pyramidal Numbers

Theorem

$Q_n = \dfrac {n^2 \paren {n + 1} } 2$

$\ds Q_n$

$=$

$\ds \sum_{k \mathop = 1}^n P_k$

$\ds $

$=$

$\ds \sum_{k \mathop = 1}^n \dfrac {k \paren {3 k - 1} } 2$

$\ds $

$=$

$\ds \dfrac 1 2 \paren {3 \sum_{k \mathop = 1}^n k^2 - \sum_{k \mathop = 1}^n k}$

$\ds $

$=$

$\ds \dfrac 1 2 \paren {3 \frac {n \paren {n + 1} \paren {2 n + 1} } 6 - \sum_{k \mathop = 1}^n k}$

$\ds $

$=$

$\ds \dfrac 1 2 \paren {3 \frac {n \paren {n + 1} \paren {2 n + 1} } 6 - \dfrac {n \paren {n + 1} } 2}$

$\ds $

$=$

$\ds \dfrac 1 2 \paren {\frac {n \paren {n + 1} \paren {2 n + 1} - n \paren {n + 1} } 2}$

$\ds $

$=$

$\ds \dfrac 1 2 \paren {\frac {n \paren {n + 1} \paren {2 n} } 2}$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {n^2 \paren {n + 1} } 2$

$\blacksquare$