# Complex Arithmetic/Examples/z 1^3 - 3 z 1^2 + 4 z 1 - 8

## Example of Complex Arithmetic

Let $z_1 = 2 + i$.

Then:

$z_1^3 - 3 z_1^2 + 4 z_1 - 8 = -7 + 3 i$

## Proof

 $\ds z_1^2$ $=$ $\ds \paren {2 + i} \paren {2 + i}$ $\ds$ $=$ $\ds 4 + 4 i + i^2$ Definition of Complex Multiplication $\ds$ $=$ $\ds 3 + 4 i$

 $\ds z_1^3$ $=$ $\ds z_1^2 \times z_1$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {3 + 4 i} \paren {2 + i}$ $\ds$ $=$ $\ds 6 + 8 i + 3 i + 4 i^2$ Definition of Complex Multiplication $\ds$ $=$ $\ds 2 + 11 i$

So:

 $\ds z_1^3 - 3 z_1^2 + 4 z_1 - 8$ $=$ $\ds \paren {2 + 11 i} - 3 \paren {3 + 4 i} + 4 \paren {2 + i} - 8$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {2 + 11 i} - \paren {9 + 12 i} + \paren {8 + 4 4} - 8$ $\ds$ $=$ $\ds \paren {2 - 9 + 8 - 8} + \paren {11 - 12 + 4} i$ $\ds$ $=$ $\ds -7 + 3 i$

$\blacksquare$