# Coset/Examples/Dihedral Group D3/Cosets of Subgroup Generated by b/Left Cosets

## Examples of Left Cosets

Consider the dihedral group $D_3$.

$D_3 = \gen {a, b: a^3 = b^2 = e, a b = b a^{-1} }$

Let $H \subseteq D_3$ be defined as:

$H = \gen b$

where $\gen b$ denotes the subgroup generated by $b$.

As $b$ has order $2$, it follows that:

$\gen b = \set {e, b}$

The left cosets of $H$ are:

 $\ds e H$ $=$ $\ds \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds b H$ $\ds$ $=$ $\ds H$

 $\ds a H$ $=$ $\ds \set {a, a b}$ $\ds$ $=$ $\ds a b H$

 $\ds a^2 H$ $=$ $\ds \set {a^2, a^2 b}$ $\ds$ $=$ $\ds a^2 b H$

## Proof

The Cayley table of $D_3$ is presented as:

$\begin{array}{c|cccccc} & e & a & a^2 & b & a b & a^2 b \\ \hline e & e & a & a^2 & b & a b & a^2 b \\ a & a & a^2 & e & a b & a^2 b & b \\ a^2 & a^2 & e & a & a^2 b & b & a b \\ b & b & a^2 b & a b & e & a^2 & a \\ a b & a b & b & a^2 b & a & e & a^2 \\ a^2 b & a^2 b & a b & b & a^2 & a & e \\ \end{array}$

Thus:

 $\ds e H$ $=$ $\ds e \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {e^2, e b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds H$

 $\ds b H$ $=$ $\ds b \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {b e, b^2}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {b, e}$ $\ds$ $=$ $\ds H$

 $\ds a H$ $=$ $\ds a \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a e, a b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a, a b}$

 $\ds a^2 H$ $=$ $\ds a^2 \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a^2 e, a^2 b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a^2, a^2 b}$

 $\ds a b H$ $=$ $\ds a b \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a b e, a b b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a b, a}$ $\ds$ $=$ $\ds a H$

 $\ds a^2 b H$ $=$ $\ds a^2 b \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a^2 b e, a^2 b b}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {a^2 b, a^2}$ $\ds$ $=$ $\ds a^2 H$

$\blacksquare$