Power of 2^10 Minus Power of 10^3 is Divisible by 24/Proof 2

Theorem

Let $n \in \Z_{\ge 0}$ be a non-negative integer.

Then $2^{10 n} - 10^{3 n}$ is divisible by $24$.

That is:

$2^{10 n} - 10^{3 n} \equiv 0 \pmod {24}$

For $n = 0$ both powers are $1$, and $1 - 1 = 0$ is divisible by $24$.

For $n > 1$:

$\ds 2^{10 n} - 10^{3 n}$

$=$

$\ds 2^{3 n} \paren {2^{7 n} - 5^{3 n} }$

$\ds $

$\equiv$

$\ds 0$

$\ds \pmod 8$

because $2^3 \divides 2^{3 n}$

$\ds 2^{10 n} - 10^{3 n}$

$\equiv$

$\ds \paren {-1}^{10 n} - 1^{3 n}$

$\ds \pmod 3$

$\ds $

$\equiv$

$\ds 1 - 1$

$\ds \pmod 3$

$\ds $

$\equiv$

$\ds 0$

$\ds \pmod 3$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds 2^{10 n} - 10^{3 n}$

$\equiv$

$\ds 0$

$\ds \pmod {24}$

$\blacksquare$