# Powers of Imaginary Unit

## Theorem

The (integer) powers of the imaginary unit $i$ are:

 $\ds i^0$ $=$ $\ds 1$ $\ds i^1$ $=$ $\ds i$ $\ds i^2$ $=$ $\ds -1$ $\ds i^3$ $=$ $\ds -i$ $\ds i^4$ $=$ $\ds 1$

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## Proof

By definition:

$i^2 = -1$

Then we have:

 $\ds i^0$ $=$ $\ds e^{0 \ln i}$ Definition of Power to Complex Number $\ds$ $=$ $\ds e^0$ $\ds$ $=$ $\ds 1$

Then:

 $\ds i^1$ $=$ $\ds e^{1 \ln i}$ Definition of Power to Complex Number $\ds$ $=$ $\ds e^{\ln i}$ $\ds$ $=$ $\ds i$ Definition of Exponential Function

Finally:

 $\ds i^3$ $=$ $\ds i^2 \times i$ $\ds$ $=$ $\ds \left({-1}\right) \times i$ $\ds$ $=$ $\ds -i$ Definition of Negative of Complex Number

$\blacksquare$