# Primitive of Exponential of a x by Power of Cosine of b x

Jump to navigation Jump to search

## Theorem

$\ds \int e^{a x} \cos^n b x \rd x = \frac {e^{a x} \cos^{n - 1} b x} {a^2 + n^2 b^2} \paren {a \cos b x + n b \sin b x} + \frac {n \paren {n - 1} b^2} {a^2 + n^2 b^2} \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x + C$

## Proof

With a view to expressing the primitive in the form:

$\ds \int u \frac {\d v} {\d x} \rd x = u v - \int v \frac {\d u} {\d x} \rd x$

let:

 $\ds u$ $=$ $\ds \cos^n b x$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds \frac {\d u} {\d x}$ $=$ $\ds -n b \cos^{n - 1} b x \sin b x$ Derivative of $\cos a x$, Derivative of Power, Chain Rule for Derivatives

and let:

 $\ds \frac {\d v} {\d x}$ $=$ $\ds e^{a x}$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds v$ $=$ $\ds \frac {e^{a x} } a$ Primitive of $e^{a x}$

Then:

 $\ds \int e^{a x} \cos^n b x \rd x$ $=$ $\ds \cos^n b x \paren {\frac {e^{a x} } a} - \int \paren {\frac {e^{a x} } a} \paren {-n b \cos^{n - 1} b x \sin b x} \rd x + C$ Integration by Parts $\text {(1)}: \quad$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{a x} \cos^n b x} a + \frac {n b} a \int e^{a x} \cos^{n - 1} b x \sin b x \rd x + C$ Primitive of Constant Multiple of Function
$\ds \int e^{a x} \cos^{n - 1} b x \sin b x \rd x = \frac {e^{a x} \cos^{n - 1} b x \paren {a \sin b x - b \cos b x} } {a^2 + n b^2} - \frac {\paren {n - 1} a b} {a^2 + n b^2} \paren {\int e^{a x} \cos^n b x \rd x - \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x} + C$

Hence:

 $\ds$  $\ds \int e^{a x} \cos^n b x \rd x$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{a x} \cos^n b x} a + \frac {n b} a \int e^{a x} \cos^{n - 1} b x \sin b x \rd x + C$ from $(1)$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{a x} \cos^n b x} a + \frac {n b} {a \paren {a^2 + n b^2} } e^{a x} \cos^{n - 1} b x \paren {a \sin b x - b \cos b x}$ Primitive of $e^{a x} \cos^n b x$: Lemma 1 $\ds$  $\, \ds - \,$ $\ds \frac {n \paren {n - 1} b^2} {a^2 + n b^2} \int e^{a x} \cos^n b x \rd x + \frac {n \paren {n - 1} b^2} {a^2 + n b^2} \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x + C$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds$  $\ds \paren {1 + \frac {n \paren {n - 1} b^2} {a^2 + n b^2} } \int e^{a x} \cos^n b x \rd x$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{a x} \cos^n b x} a + \frac {n b} {a \paren {a^2 + n b^2} } e^{a x} \cos^{n - 1} b x \paren {a \sin b x - b \cos b x}$ $\ds$  $\, \ds + \,$ $\ds \frac {n \paren {n - 1} b^2} {a^2 + n b^2} \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x + C$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds$  $\ds \frac {a^2 + n b^2 + n^2 b^2 - n b^2} {a^2 + n b^2} \int e^{a x} \cos^n b x \rd x$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{a x} \cos^n b x} a + \frac {n b} {a \paren {a^2 + n b^2} } e^{a x} \cos^{n - 1} b x \paren {a \sin b x - b \cos b x}$ $\ds$  $\, \ds + \,$ $\ds \frac {n \paren {n - 1} b^2} {a^2 + n b^2} \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x + C$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds$  $\ds \paren {a^2 + n^2 b^2} \int e^{a x} \cos^n b x \rd x$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {a^2 + n b^2} a e^{a x} \cos^n b x + \frac {n b} a e^{a x} \cos^{n - 1} b x \paren {a \sin b x - b \cos b x}$ $\ds$  $\, \ds + \,$ $\ds \paren {n \paren {n - 1} b^2} \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x + C$ $\ds$ $=$ $\ds e^{a x} \cos^{n - 1} b x \paren {a \cos b x + n b \sin b x}$ Primitive of $e^{a x} \cos^n b x$: Lemma 2 $\ds$  $\, \ds + \,$ $\ds \paren {n \paren {n - 1} b^2} \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x + C$ $\ds \leadsto \ \$ $\ds$  $\ds \int e^{a x} \cos^n b x \rd x$ $\ds$ $=$ $\ds \frac {e^{a x} \cos^{n - 1} b x} {a^2 + n^2 b^2} \paren {a \cos b x + n b \sin b x} + \frac {n \paren {n - 1} b^2} {a^2 + n^2 b^2} \int e^{a x} \cos^{n - 2} b x \rd x + C$

$\blacksquare$