Primitive of Power of x over x cubed plus a cubed

Theorem

$\ds \int \frac {x^m \rd x} {x^3 + a^3} = \frac {x^{m - 2} } {m - 2} - a^3 \int \frac {x^{m - 3} \rd x} {x^3 + a^3}$

$\ds \int \frac {x^m \rd x} {x^3 + a^3}$

$=$

$\ds \int \frac {x^{m - 3} \paren {x^3} \rd x} {x^3 + a^3}$

$\ds $

$=$

$\ds \int \frac {x^{m - 3} \paren {x^3 + a^3 - a^3} \rd x} {x^3 + a^3}$

$\ds $

$=$

$\ds \int \frac {x^{m - 3} \paren {x^3 + a^3} \rd x} {x^3 + a^3} - a^3 \int \frac {x^{m - 3} \rd x} {x^3 + a^3}$

$\ds $

$=$

$\ds \int x^{m - 3} \rd x - a^3 \int \frac {x^{m - 3} \rd x} {x^3 + a^3}$

simplification

$\ds $

$=$

$\ds \frac {x^{m - 2} } {m - 2} - a^3 \int \frac {x^{m - 3} \rd x} {x^3 + a^3}$

$\blacksquare$