Primitive of Reciprocal of x by x cubed plus a cubed squared

Theorem

$\ds \int \frac {\d x} {x \paren {x^3 + a^3}^2} = \frac 1 {3 a^3 \paren {x^3 + a^3} } + \frac 1 {3 a^6} \ln \size {\frac {x^3} {x^3 + a^3} }$

$\ds \int \frac {\d x} {x \paren {x^3 + a^3}^2}$

$=$

$\ds \int \frac {a^3 \rd x} {a^3 x \paren {x^3 + a^3}^2}$

multiplying top and bottom by $a^3$

$\ds $

$=$

$\ds \int \frac {\paren {x^3 + a^3 - x^3} \rd x} {a^3 x \paren {x^3 + a^3}^2}$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 {a^3} \int \frac {\paren {x^3 + a^3} \rd x} {x \paren {x^3 + a^3}^2} - \frac 1 {a^3} \int \frac {x^3 \rd x} {x \paren {x^3 + a^3}^2}$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 {a^3} \int \frac {\d x} {x \paren {x^3 + a^3} } - \frac 1 {a^3} \int \frac {x^2 \rd x} {\paren {x^3 + a^3}^2}$

simplifying

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 {a^3} \paren {\frac 1 {3 a^3} \ln \size {\frac {x^3} {x^3 + a^3} } } - \frac 1 {a^3} \int \frac {x^2 \rd x} {\paren {x^3 + a^3}^2}$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 {a^3} \paren {\frac 1 {3 a^3} \ln \size {\frac {x^3} {x^3 + a^3} } } - \frac 1 {a^3} \paren {\frac {-1} {3 \paren {x^3 + a^3} } }$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 {3 a^3 \paren {x^3 + a^3} } + \frac 1 {3 a^6} \ln \size {\frac {x^3} {x^3 + a^3} }$

simplifying

$\blacksquare$