Range of Modulo Operation for Negative Modulus

Theorem

Let $x, y \in \R$ be real numbers.

Let $x \bmod y$ denote the modulo operation:

$x \bmod y := \begin{cases}

x - y \floor {\dfrac x y} & : y \ne 0 \\ x & : y = 0 \end{cases}$ where $\floor {\dfrac x y}$ denotes the floor of $\dfrac x y$.

Let $y < 0$.

Then:

$0 \ge x \bmod y > y$

$\ds 0$

$\le$

$\, \ds \frac {x \bmod y} y \, $

$\, \ds < \, $

$\ds 1$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds 0$

$\ge$

$\, \ds \frac {x \bmod y} y \times y \, $

$\, \ds > \, $

$\ds 1 \times y$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds 0$

$\ge$

$\, \ds x \bmod y \, $

$\, \ds > \, $

$\ds y$

Hence the result.

$\blacksquare$