1+2+...+n+(n-1)+...+1 = n^2/Proof 4

Theorem

$\forall n \in \N: 1 + 2 + \cdots + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1 = n^2$

Let $T_n = 1 + 2 + \cdots + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1$.

We have $T_1 = 1$

and

$\ds T_n - T_{n - 1}$

$=$

$\ds \paren {1 + 2 + \cdots + n + \paren {n - 1} + \cdots + 1 }$

Definition of $T_n$

$\ds $

$\, \ds - \, $

$\ds \paren {1 + 2 + \cdots + \paren {n - 1} + \paren {n - 2} + \cdots + 1}$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {\paren {1 + 2 + \cdots + n} - \paren {1 + 2 + \cdots + \paren {n - 1} } }$

$\ds $

$\, \ds + \, $

$\ds \paren {\paren {\paren {n - 1} + \paren {n - 2} + \cdots + 1} - \paren {\paren {n - 2} + \paren {n - 3} + \cdots + 1} }$

$\ds $

$=$

$\ds n + \paren {n - 1}$

simplifying

$\ds $

$=$

$\ds 2 n - 1$

Thus we have:

$\ds T_n$

$=$

$\ds \paren {T_n - T_{n - 1} } + \paren {T_{n - 1} - T_{n - 2} } + \cdots + \paren {T_2 - T_1} + T_1$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {2 n - 1} + \paren {2 \paren {n - 1} - 1} + \cdots + \paren {2 \times 2 - 1} + 1$

$\ds $

$=$

$\ds \sum_{k \mathop = 1}^n 2 k - 1$

$\ds $

$=$

$\ds n^2$

$\blacksquare$