Excess Kurtosis of Pareto Distribution/Lemma 4

Lemma for Excess Kurtosis of Pareto Distribution

$3 a^3 \paren {a - 2}^2 \paren {a - 3} \paren {a - 4} = 3 a^7 - 33 a^6 + 132 a^5 - 228 a^4 + 144 a^3$

$\ds 3 a^3 \paren {a - 2}^2 \paren {a - 3} \paren {a - 4}$

$=$

$\ds 3 a^3 \paren {a^2 - 4 a + 4} \paren {a^2 - 7 a + 12}$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {3 a^5 - 12 a^4 + 12 a^3} \paren {a^2 - 7 a + 12}$

$\ds $

$=$

$\ds 3 a^7 + \paren {-21 - 12} a^6 + \paren {36 + 84 + 12} a^5 + \paren {-144 - 84} a^4 + 144 a^3$

$\ds $

$=$

$\ds 3 a^7 - 33 a^6 + 132 a^5 - 228 a^4 + 144 a^3$

$\blacksquare$