Hensel's Lemma/P-adic Integers/Lemma 10

Theorem

Let $\Z_p$ be the $p$-adic integers for some prime $p$.

Then:

$\forall x \in \Z_p: p^k x \equiv 0 \pmod{p^{k+1}\Z_p} \implies x \equiv 0 \pmod{p\Z_p}$

We have:

$\ds p^k x$

$\equiv$

$\ds 0 \pmod{p^{k+1}\Z_p}$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds p^k x$

$\in$

$\ds p^{k+1}\Z_p$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \exists y \in \Z_p: \, $

$\ds p^kx$

$=$

$\ds p^{k+1}y$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \exists y \in \Z_p: \, $

$\ds x$

$=$

$\ds py$

Divide by $p^k$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds x$

$\in$

$\ds p\Z_p$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds x$

$\equiv$

$\ds 0 \pmod{p\Z_p}$

$\blacksquare$