Multiple Angle Formula for Sine
Jump to navigation
Jump to search
Theorem
- $\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z} = 2^{n - 1} \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} \paren {\cos z - \cos \frac {k \pi} n}$
for $\sin z \ne 0$.
Proof
We have:
\(\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}\) | \(=\) | \(\ds \frac {e^{i n z} - e^{-i n z} } {e^{i z} - e^{-i z} }\) | Euler's Sine Identity | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \frac {e^{i n z} - e^{-i n z} } {e^{i z} - e^{-i z} } \times \frac {e^{i n z} } {e^{i n z} } \times \frac {2^{n - 1} } {2^{n - 1} } \times \frac {e^{i z} } {e^{i z} }\) | multiplying by $1$ | |||||||||||
\(\text {(1)}: \quad\) | \(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {e^{2 i n z} - 1} {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }\) |
Consider the equation:
- $x^n - 1 = 0$
whose solutions are the complex roots of unity:
- $1, e^{-2 \pi i / n}, e^{-4 \pi i / n}, e^{-6 \pi i / n}, \ldots, e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n}$
Then:
\(\ds x^n - 1\) | \(=\) | \(\ds \paren {x - 1} \paren {x - e^{-2 \pi i / n} } \paren {x - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {x - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} }\) | product of all the roots |
Let $x = e^{2 i z}$.
Then:
\(\text {(2)}: \quad\) | \(\ds e^{2 i n z} - 1\) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{2 i z} - 1} \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} }\) | product of all the roots |
Plugging $(2)$ into $(1)$, we have:
\(\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}\) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {e^{2 i n z} - 1} {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }\) | from $\paren {1}$ above | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {e^{2 i z} - 1} \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }\) | plugging $(2)$ into $(1)$ | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) | cancelling $\paren {e^{2 i z} - 1}$ | |||||||||||
\(\text {(3)}: \quad\) | \(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} + e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) | Difference of Two Squares |
We now notice:
\(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} }\) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} + e^{2\pi i - \pi i / n} }\) | Euler's Formula | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} + e^{\pi i } e^{\pi i } e^{-\pi i / n} }\) | Product of Powers | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} + \paren {-1} e^{\pi i -\pi i / n} }\) | Euler's Identity and Product of Powers | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } }\) |
And also:
\(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - k} \pi i / n} }\) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\pi i + k \pi i / n} }\) | ||||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} + e^{-\pi i } e^{k \pi i / n} }\) | Product of Powers | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} + \paren {-1} e^{k \pi i / n} }\) | Euler's Identity | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{i z} - e^{k \pi i / n} }\) |
Substituting into $\paren {3}$ above, we obtain:
\(\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}\) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} + e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) | from $(3)$ above | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 2} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} - e^{\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) | after substitution | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \frac {\paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }\) | rearranging terms |
From $(2)$ above, we have:
\(\ds e^{i \paren {n - 1} z}\) | \(=\) | \(\ds \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} e^{-i \paren {\dfrac {k \pi} n} }\) | ||||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds \paren {e^{-i \paren {\dfrac {\pi} n} } } \paren {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \dotsm \paren {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } }\) |
Therefore:
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }\) | separating terms | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } {e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }\) | factoring out $1$ and Product of Powers | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - 1} } 2} \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - 1} } 2}\) | dividing by $1$ | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac \pi n} } + e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - e^{i z} } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac {2 \pi} n} } + e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{i \paren {z + \dfrac {4 \pi} n} } - e^{i z} } 2} \dotsm \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } + e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{i \paren {z + \dfrac {2 \paren {n - 1} \pi} n} } - e^{i z} } 2}\) | expanding the product | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }\) | factoring out $1$ and Product of Powers | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } 2} \dotsm \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } 2}\) | dividing by $1$ | |||||||||||
\(\ds \) | \(=\) | \(\ds 2^{n - 1} \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} \paren {\cos z - \cos \frac {k \pi} n}\) | Euler's Cosine Identity |
$\blacksquare$
Also see
Sources
- 1981: Murray R. Spiegel: Theory and Problems of Complex Variables (SI ed.) ... (previous) ... (next): $1$: Complex Numbers: Supplementary Problems: Miscellaneous Problems: $161 \ \text{(a)}$