Primitive of Square of Cosine Function/Proof 2

Theorem

$\ds \int \cos^2 x \rd x = \frac x 2 + \frac {\sin 2 x} 4 + C$

$\ds I_n$

$=$

$\ds \int \cos^n x \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds \dfrac {\cos^{n - 1} x \sin x} n + \dfrac {n - 1} n I_{n-2}$

$\ds I_0$

$=$

$\ds \int \left({\cos x}\right)^0 \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds \int \rd x$

$\ds $

$=$

$\ds x + C$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds I_2$

$=$

$\ds \frac {\cos x \sin x} 2 + \frac x 2 + \frac C 2$

setting $n = 2$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {\sin 2 x} 4 + \frac x 2 + C'$

$\blacksquare$