Reciprocal of One Minus Secant

Theorem

$\dfrac {\sin^2 x + 2 \cos x - 1} {\sin^2 x + 3 \cos x - 3} = \dfrac 1 {1 - \sec x}$

$\ds \frac {\sin^2 x + 2 \cos x - 1} {\sin^2 x + 3 \cos x - 3}$

$=$

$\ds \frac {1 - \cos^2 x - 2 \cos x - 1} {1 - \cos^2 x + 3 \cos x - 3}$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {\cos^2 x - 2 \cos x} {\cos^2 x - 3 \cos x + 2}$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {\cos x \paren {\cos x - 2} } {\paren {\cos x - 1} \paren {\cos x - 2} }$

$\ds $

$=$

$\ds \frac {\cos x} {\cos x - 1}$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 {1 - \frac 1 {\cos x} }$

$\ds $

$=$

$\ds \frac 1 {1 - \sec x}$

$\blacksquare$