Sum of Sequence of Power by Index/Proof 1

Theorem

$\ds \sum_{j \mathop = 0}^n j x^j = \frac {n x^{n + 2} - \paren {n + 1} x^{n + 1} + x} {\paren {x - 1}^2}$

for $x \ne 1$.

$\ds \sum_{j \mathop = 0}^n j x^j$

$=$

$\ds x \sum_{1 \mathop \le j \mathop \le n}^n j x^{j - 1}$

$\ds $

$=$

$\ds x \sum_{0 \mathop \le j \mathop \le n - 1} \paren {j + 1} x^j$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {x \sum_{0 \mathop \le j \mathop \le n - 1} j x^j} + \paren {x \sum_{0 \mathop \le j \mathop \le n - 1} x^j}$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {x \sum_{0 \mathop \le j \mathop \le n} j x^j} - n x^{n + 1} + \paren {\sum_{0 \mathop \le j \mathop \le n - 1} x^{j + 1} }$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \paren {x - 1} \sum_{0 \mathop \le j \mathop \le n} j x^j$

$=$

$\ds n x^{n + 1} - \paren {\sum_{1 \mathop \le j \mathop \le n} x^j}$

$\ds $

$=$

$\ds n x^{n + 1} - \paren {\sum_{0 \mathop \le j \mathop \le n} x^j} + 1$

$\ds $

$=$

$\ds n x^{n + 1} - \paren {\frac {x^{n - 1} - 1} {x - 1} } + 1$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \sum_{j \mathop = 0}^n j x^j$

$=$

$\ds \frac {n x^{n + 2} - \paren {n + 1} x^{n + 1} + x} {\paren {x - 1}^2}$

$\blacksquare$