User:Leigh.Samphier/Matroids/Axiom:Base Axioms (Matroid)

Definition

Let $\mathscr B$ be a non-empty set of subsets of $S$.

$\mathscr B$ is said to satisfy the base axioms if and only if:

$(\text B 1)$	$:$	$\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:$	$\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_1 \setminus \set x} \cup \set y \in \mathscr B $
$(\text B 2)$	$:$	$\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:$	$\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_1 \cup \set y} \setminus \set x \in \mathscr B $
$(\text B 3)$	$:$	$\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:$	$\ds \exists \text{ a bijection } \pi : B_1 \setminus B_2 \to B_2 \setminus B_1 : \forall x \in B_1 \setminus B_2 : \paren {B_1 \setminus \set x } \cup \set {\map \pi x} \in \mathscr B $
$(\text B 4)$	$:$	$\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:$	$\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_1 \setminus \set x} \cup \set y, \paren {B_2 \setminus \set y} \cup \set x \in \mathscr B $
$(\text B 5)$	$:$	$\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:$	$\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_2 \setminus \set y} \cup \set x \in \mathscr B $
$(\text B 6)$	$:$	$\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:$	$\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_2 \cup \set x} \setminus \set y \in \mathscr B $
$(\text B 7)$	$:$	$\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:$	$\ds \exists \text{ a bijection } \pi : B_1 \setminus B_2 \to B_2 \setminus B_1 : \forall x \in B_1 \setminus B_2 : \paren {B_2 \setminus \set {\map \pi x} } \cup \set x \in \mathscr B $

\((\text B 1)\)	$:$	\(\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:\)	\(\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_1 \setminus \set x} \cup \set y \in \mathscr B \)
\((\text B 2)\)	$:$	\(\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:\)	\(\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_1 \cup \set y} \setminus \set x \in \mathscr B \)
\((\text B 3)\)	$:$	\(\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:\)	\(\ds \exists \text{ a bijection } \pi : B_1 \setminus B_2 \to B_2 \setminus B_1 : \forall x \in B_1 \setminus B_2 : \paren {B_1 \setminus \set x } \cup \set {\map \pi x} \in \mathscr B \)
\((\text B 4)\)	$:$	\(\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:\)	\(\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_1 \setminus \set x} \cup \set y, \paren {B_2 \setminus \set y} \cup \set x \in \mathscr B \)
\((\text B 5)\)	$:$	\(\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:\)	\(\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_2 \setminus \set y} \cup \set x \in \mathscr B \)
\((\text B 6)\)	$:$	\(\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:\)	\(\ds x \in B_1 \setminus B_2 \implies \exists y \in B_2 \setminus B_1 : \paren {B_2 \cup \set x} \setminus \set y \in \mathscr B \)
\((\text B 7)\)	$:$	\(\ds \forall B_1, B_2 \in \mathscr B:\)	\(\ds \exists \text{ a bijection } \pi : B_1 \setminus B_2 \to B_2 \setminus B_1 : \forall x \in B_1 \setminus B_2 : \paren {B_2 \setminus \set {\map \pi x} } \cup \set x \in \mathscr B \)