# Coset/Examples/Symmetry Group of Equilateral Triangle/Cosets of Reflection Subgroup

## Examples of Cosets

Consider the symmetry group of the equilateral triangle $D_3$.

Let $H \subseteq D_3$ be defined as:

$H = \set {e, r}$

where:

$e$ denotes the identity mapping
$r$ denotes reflection in the line $r$.

The left cosets of $H$ are:

 $\ds H$ $=$ $\ds \set {e, r}$ $\ds$ $=$ $\ds e H$ $\ds$ $=$ $\ds r H$ $\ds s H$ $=$ $\ds \set {s e, s r}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {s, q}$ $\ds$ $=$ $\ds q H$ $\ds t H$ $=$ $\ds \set {t e, t r}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {t, p}$ $\ds$ $=$ $\ds p H$

The right cosets of $H$ are:

 $\ds H$ $=$ $\ds \set {e, r}$ $\ds$ $=$ $\ds H e$ $\ds$ $=$ $\ds H r$ $\ds H s$ $=$ $\ds \set {e s, r s}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {s, p}$ $\ds$ $=$ $\ds H p$ $\ds H t$ $=$ $\ds \set {e t, r t}$ $\ds$ $=$ $\ds \set {t, q}$ $\ds$ $=$ $\ds H q$

## Transversals

Some of the left transversals of $H$ are given by:

$\set {e, s, t}$
$\set {e, q, p}$
$\set {r, s, p}$

and so on.