Sum of Sequence of Harmonic Numbers/Proof 2

Theorem

$\ds \sum_{k \mathop = 1}^n H_k = \paren {n + 1} H_n - n$

where $H_k$ denotes the $k$th harmonic number.

$\ds \sum_{k \mathop = 1}^n \binom k m H_k = \binom {n + 1} {m + 1} \paren {H_{n + 1} - \frac 1 {m + 1} }$

Setting $m = 0$:

$\ds \sum_{k \mathop = 1}^n \binom k 0 H_k$

$=$

$\ds \binom {n + 1} {0 + 1} \paren {H_{n + 1} - \frac 1 {0 + 1} }$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \sum_{j \mathop = 1}^n H_k$

$=$

$\ds \paren {n + 1} \paren {H_{n + 1} - 1}$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {n + 1} \paren {H_n + \frac 1 {n + 1} - 1}$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {n + 1} H_n + \paren {n + 1} \frac 1 {n + 1} - \paren {n + 1} 1$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {n + 1} H_n + 1 - \paren {n + 1}$

$\ds $

$=$

$\ds \paren {n + 1} H_n - n$

$\blacksquare$