Sum of Two Fourth Powers

Theorem

$x^4 + y^4 = \paren {x^2 + \sqrt 2 x y + y^2} \paren {x^2 - \sqrt 2 x y + y^2}$

$\ds $

$\ds \paren {x^2 + \sqrt 2 x y + y^2} \paren {x^2 - \sqrt 2 x y + y^2}$

$\ds $

$=$

$\ds x^2 \paren {x^2 - \sqrt 2 x y + y^2} + \sqrt 2 x y \paren {x^2 - \sqrt 2 x y + y^2} + y^2 \paren {x^2 - \sqrt 2 x y + y^2}$

$\ds $

$=$

$\ds x^4 - \sqrt 2 x^3 y + x^2 y^2 + \sqrt 2 x^3 y - 2 x^2 y^2 + \sqrt 2 x y^3 + x^2 y^2 - \sqrt 2 x y^3 + y^4$

$\ds $

$=$

$\ds x^4 + y^4$

gathering terms

$\blacksquare$