# Coset/Examples/Dihedral Group D3/Cosets of Subgroup Generated by b

## Examples of Cosets

Consider the dihedral group $D_3$.

$D_3 = \gen {a, b: a^3 = b^2 = e, a b = b a^{-1} }$

Let $H \subseteq D_3$ be defined as:

$H = \gen b$

where $\gen b$ denotes the subgroup generated by $b$.

As $b$ has order $2$, it follows that:

$\gen b = \set {e, b}$

### Left Cosets

The left cosets of $H$ are:

 $\ds e H$ $=$ $\ds \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds b H$ $\ds$ $=$ $\ds H$

 $\ds a H$ $=$ $\ds \set {a, a b}$ $\ds$ $=$ $\ds a b H$

 $\ds a^2 H$ $=$ $\ds \set {a^2, a^2 b}$ $\ds$ $=$ $\ds a^2 b H$

### Right Cosets

The right cosets of $H$ are:

 $\ds H e$ $=$ $\ds \set {e, b}$ $\ds$ $=$ $\ds H b$ $\ds$ $=$ $\ds H$

 $\ds H a$ $=$ $\ds \set {a, a^2 b}$ $\ds$ $=$ $\ds H a^2 b$

 $\ds H a^2$ $=$ $\ds \set {a^2, a b}$ $\ds$ $=$ $\ds H a b$